I don't understand most of it
L2 - Compléments microéconomiques : Devoir maison Exercice 1 Soit un jeu à trois joueurs, notés 1,2 et 3, tel que v({1, 2}) = 90, v({1, 3}) = v(N) = 100 et v({i}) = v(2, 3) = 0 pour tout i = 1, 2, 3. Soit (x1, x2, x3) élément un quelconque du coeur. 1. Montrer que x2 peut prendre une valeur unique que l’on déterminera. 2. Montrer que x1 ∈ [90, 100]. 3. Déterminer l’intervalle de valeurs auquel appartient x3. Exercice 2 Soit un jeu coalitionnel à 4 joueurs. v(S) = 0 si le cardinal de S est 1, v(S) = a si le cardinal de S est 2, v(S) = b si le cardinal de S est 3 et v(N) = 1. 1. Montrer que le coeur est non vide si a ≤ 1/2 et b ≤ 3/4. 2. Montrer que le coeur est vide si a > 1/2 ou b > 3/4. Exercice 3 1. Soit une collection {λS} ∈ S ∈ C (où C est l’ensemble des coalitions) telle que λ{1} = 1, λ{3} = λ{2} = 1/3, λ{2,3} = x et λS = 0 pour les autres coalitions. Déterminer x tel que cette collection soit balancée. 2. Soit v(S) = −2 si |S| = 1, v(S) = −1 si |S| = 2 et v(N) = 0. Montrer de deux manières différentes que le jeu est balancé. 3. Soit v(S) = 1 si |S| = 1, v(S) = 2 si |S| = 2 et v(N) = 2.5. Montrer de deux manières différentes que le jeu n’est pas balancé. Exercice 4 On se place dans un cadre de jeux de négociation. Trouver: 1. Une solution qui satisfait tous les axiomes de la solution de Nash sauf celui d’efficacité. 2. Une solution qui satisfait tous les axiomes de la solution de Nash sauf celui de symétrie. Exercice 5 On considère une firme et un employé. L’employé est caractérisé par une produc- tivité ρ > 0 et une désutilité du travail D > 0. Le passage de la rémunération au revenu disponible est résumé par une fonction R qui associe au coût du travail w supporté par l’employeur le revenu net R(w) du ménage de la personne concernée. La fonction R dépend du salaire du conjoint, des cotisations sociales... Elle dépend aussi de manière implicite des caractéristiques du ménage: nombre et âge des enfants, type de logement... On suppose que R est continûment différentiable, strictement croissante et concave en w. Les fonctions d’utilité des deux parties sont telles qu’un emploi rémunéré w rapporte ρ−w à l’employeur et R(w)−D à l’employé. En l’absence d’accord salarial, le travailleur recoit une utilité donnée par R(0) = 0 et l’entreprise un profit nul. On suppose que le salaire minimum est w tel que w ∈ [0, ρ] , ρ > 0 R(ρ)−D > 0 1. Interprétez les hypothèses suivantes: w ∈ [0, ρ] , ρ > 0 R(ρ)−D > 0 1 2. Modéliser la situation par un jeu de négociation (on déterminera U tel que d ∈ U). Déter- minez l’équation de la frontière de Pareto. 3. Fixons les paramètres suivants, D = 1, ρ = 5 et R(w) = √ w. Déterminez le salaire à la solution de Nash. 4. Déterminez le salaire à la solution de Kalai Smorodinski . Exercice 5 On considère le jeu TU suivant: N = {1, 2, 3, 4} u(S) = 0 si S ∈ {N, {1, 2}, {3, 2}, {3, 4}, {1, 4}, ∅}−1 si |S| = 3−4 sinon Montrer que le coeur est l’ensemble {(γ,−γ, γ,−γ) : −1 ≤ γ ≤ 1}. Exercice 7 1. Trouver l’exemple d’un jeu sur additif à trois joueurs dont le coeur est vide. 2. Trouver l’exemple d’un jeu monotone à trois joueurs dont le coeur est vide. Exercice 8 Un criminel, noté 1, étudie la possibilité de voler une quantité M > 0 d’euros. S’il commet le délit, l’individu sait qu’il sera arrêté par un policier, noté 2, avec une probabilité p ∈ [0, 1]. Cette probabilité reflète les statistiques établies par la justice concernant les vols du même type. Le policier est corruptible et négocie un pot de vin L ∈ [0,M ] (une part du butin volé) que le criminel lui donne en échange de son silence. Si aucun accord n’est trouvé alors le policier fait son rapport concernant le vol et le voleur doit payer une amende proportionnelle au montant du vol au taux légal γ ∈ (0, 1] fixé par la juridiction. On suppose que l’utilité de chaque joueur est la somme d’argent qu’il détient. 1. Modélisez cette situation par un jeu de négociation à deux joueurs (U, d) (U sera l’enveloppe convexede l’ensemble des points associés aux accords possibles). 2. Déterminez la solution de Nash. 3. L’amende est-elle dissuasive? Comment modifier le système pénal pour que l’amende soit dissuasive? Exercice 9 Considérons un jeu simple avec 7 joueurs tel que v(S) = 1 si S ∈ { {1, 2, 4}; {2, 3, 5}; {1, 3, 6}; {3, 4, 7}, {1, 5, 7}, {2, 6, 7}; {4, 5, 6} } et v(S) = 0 pour toutes les autres coalitions. Montrer que ce jeu ne peut être pas représenté par un jeu de majorité pondéré. Exercice 10 Soit un ensemble de vendeurs: N = {1, 2, 3, 4, 5}. On note Ei = (gi, ti) la dotation initiale du joueur i: g représente la quantité de gin et t la quantité de tonic qu’ils possèdent initialement. On suppose que Ei = (0, 1/2) si i = 1, 2 et Ei = (1, 0) si i = 3, 4, 5. Il peuvent former des coalitions et mettre leurs ressources en commun. Ainsi une coalition S est un sous ensemble de N et les ressources possédées par la coalition S est égale à ES = (gS , tS) où gS = ∑ i∈S gi et tS = ∑ i∈S ti: gS est la quantité totale de gin possédée par la coalition S et tS est la quantité totale de tonic possédée par la coalition S. Les consommateurs veulent acheter uniquement des cocktails qui contiennent des parts égales de gin et de tonic. Le profit net à vendre α unités de gin tonic est de α dollars. Décrire cette situation comme un jeu de coalition et écrire en détail la fonction de coalition v. 2 Exercise 1: Consider a game with three players, noted 1,2 and 3, such that v ({1,2}) = 90, v ({1,3}) = v (N) = 100 and v ({i}) = v (2, 3) = 0 for all i = 1, 2, 3. Let (x1, x2, x3) be any element of the core. 1. Show that x2 can take a unique value that we will determine. 2. Show that x1 ∈ [90, 100]. 3. Determine the range of values to which x3 belongs. Exercise 2: Consider a coalition game with 4 players. v (S) = 0 if the cardinal of S is 1, v (S) = a if the cardinal of S is 2, v (S) = b if the cardinal of S is 3 and v (N) = 1. 1. Show that the core is not empty if a≤1 / 2 and b≤3 / 4. 2. Show that the core is empty if a> 1/2 or b> 3/4. Exercise 3: 1. Let be a collection {λS} ∈ S ∈ C (where C is the set of coalitions) such that λ {1} = 1, λ {3} = λ {2} = 1/3, λ {2,3} = x and λS = 0 for the other coalitions. Determine x such that this collection is balanced. 2. Let v (S) = - 2 if | S | = 1, v (S) = - 1 if | S | = 2 and v (N) = 0. Show in two different ways that the game is balanced. 3. Let v (S) = 1 if | S | = 1, v (S) = 2 if | S | = 2 and v (N) = 2.5. Show in two different ways that the game is unbalanced. Exercise 4 We place ourselves in a framework of negotiation games. Find: 1. A solution which satisfies all the axioms of Nash's solution except that of efficiency. 2. A solution which satisfies all the axioms of Nash's solution except that of symmetry. Exercise 5 We consider a firm and an employee. The employee is characterized by a productivity ρ> 0 and a disutility of labor D> 0. The transition from remuneration to disposable income is summarized by a function R which associates the cost of labor w borne by the employer with income net R (w) of the household of the person concerned. The function R depends on the spouse's salary, social contributions ... It also depends implicitly on the characteristics of the household: number and age of children, type of housing ... We suppose that R is continuously differentiable, strictly increasing and concave in w. The utility functions of both parties are such that a paid job w earns ρ - w for the employer and R (w) - D for the employee. In the absence of a wage agreement, the worker receives a utility given by R (0) = 0 and the company receives zero profit. We assume that the minimum wage is w such that w ∈ [0, ρ] , ρ > 0 R(ρ) − D > 0 Interpret the following assumptions: w ∈ [0, ρ] , ρ > 0 R(ρ) − D > 0 2. Model the situation using a negotiation game (we will determine U such that d ∈ U). Determine the equation for the Pareto frontier. 3. Let us fix the following parameters, D = 1, ρ = 5 and R (w) = . Determine the salary to the Nash solution. 4. Determine the salary for the Kalai Smorodinski solution. Exercise 6 We consider the following TU (transferable utility) game: N = {1, 2, 3, 4} Show that the core is the set {(γ, −γ, γ, −γ): −1 ≤ γ ≤ 1}. Exercise 7: 1. Find an example of a three-player add-on game with an empty core. 2. Find an example of a monotonous three-player game with an empty core. Exercise 8: A criminal, referred to as 1, is studying the possibility of stealing an amount M> 0 euros. If he commits the offense, the individual knows that he will be arrested by a police officer, referred to as 2, with a probability p ∈