L2 - Compléments microéconomiques : Devoir maison Exercice 1 Soit un jeu à trois joueurs, notés 1,2 et 3, tel que v({1, 2}) = 90, v({1, 3}) = v(N) = 100 et v({i}) = v(2, 3) = 0 pour tout i = 1, 2, 3....

L2 - Compléments microéconomiques : Devoir maison
Exercice 1 Soit un jeu à trois joueurs, notés 1,2 et 3, tel que v({1, 2}) = 90, v({1, 3}) =
v(N) = 100 et v({i}) = v(2, 3) = 0 pour tout i = 1, 2, 3. Soit (x1, x2, x3) élément un quelconque
du coeur.
1. Montrer que x2 peut prendre une valeur unique que l’on déterminera.
2. Montrer que x1 ∈ [90, 100].
3. Déterminer l’intervalle de valeurs auquel appartient x3.
Exercice 2 Soit un jeu coalitionnel à 4 joueurs. v(S) = 0 si le cardinal de S est 1, v(S) = a
si le cardinal de S est 2, v(S) = b si le cardinal de S est 3 et v(N) = 1.
1. Montrer que le coeur est non vide si a ≤ 1/2 et b ≤ 3/4.
2. Montrer que le coeur est vide si a > 1/2 ou b > 3/4.
Exercice 3
1. Soit une collection {λS} ∈ S ∈ C (où C est l’ensemble des coalitions) telle que λ{1} = 1,
λ{3} = λ{2} = 1/3, λ{2,3} = x et λS = 0 pour les autres coalitions. Déterminer x tel que
cette collection soit balancée.
2. Soit v(S) = −2 si |S| = 1, v(S) = −1 si |S| = 2 et v(N) = 0. Montrer de deux manières
différentes que le jeu est balancé.
3. Soit v(S) = 1 si |S| = 1, v(S) = 2 si |S| = 2 et v(N) = 2.5. Montrer de deux manières
différentes que le jeu n’est pas balancé.
Exercice 4
On se place dans un cadre de jeux de négociation. Trouver:
1. Une solution qui satisfait tous les axiomes de la solution de Nash sauf celui d’efficacité.
2. Une solution qui satisfait tous les axiomes de la solution de Nash sauf celui de symétrie.
Exercice 5 On considère une firme et un employé. L’employé est caractérisé par une produc-
tivité ρ > 0 et une désutilité du travail D > 0. Le passage de la rémunération au revenu disponible
est résumé par une fonction R qui associe au coût du travail w supporté par l’employeur le revenu
net R(w) du ménage de la personne concernée. La fonction R dépend du salaire du conjoint,
des cotisations sociales... Elle dépend aussi de manière implicite des caractéristiques du ménage:
nombre et âge des enfants, type de logement... On suppose que R est continûment différentiable,
strictement croissante et concave en w. Les fonctions d’utilité des deux parties sont telles qu’un
emploi rémunéré w rapporte ρ−w à l’employeur et R(w)−D à l’employé. En l’absence d’accord
salarial, le travailleur recoit une utilité donnée par R(0) = 0 et l’entreprise un profit nul. On
suppose que le salaire minimum est w tel que
w ∈ [0, ρ] , ρ > 0
R(ρ)−D > 0
1. Interprétez les hypothèses suivantes:
w ∈ [0, ρ] , ρ > 0
R(ρ)−D > 0
1
2. Modéliser la situation par un jeu de négociation (on déterminera U tel que d ∈ U). Déter-
minez l’équation de la frontière de Pareto.
3. Fixons les paramètres suivants, D = 1, ρ = 5 et R(w) =

w. Déterminez le salaire à la
solution de Nash.
4. Déterminez le salaire à la solution de Kalai Smorodinski .
Exercice 5
On considère le jeu TU suivant: N = {1, 2, 3, 4}
u(S) =
 0 si S ∈ {N, {1, 2}, {3, 2}, {3, 4}, {1, 4}, ∅}−1 si |S| = 3−4 sinon
Montrer que le coeur est l’ensemble {(γ,−γ, γ,−γ) : −1 ≤ γ ≤ 1}.
Exercice 7
1. Trouver l’exemple d’un jeu sur additif à trois joueurs dont le coeur est vide.
2. Trouver l’exemple d’un jeu monotone à trois joueurs dont le coeur est vide.
Exercice 8
Un criminel, noté 1, étudie la possibilité de voler une quantité M > 0 d’euros. S’il commet
le délit, l’individu sait qu’il sera arrêté par un policier, noté 2, avec une probabilité p ∈ [0, 1].
Cette probabilité reflète les statistiques établies par la justice concernant les vols du même type.
Le policier est corruptible et négocie un pot de vin L ∈ [0,M ] (une part du butin volé) que le
criminel lui donne en échange de son silence. Si aucun accord n’est trouvé alors le policier fait
son rapport concernant le vol et le voleur doit payer une amende proportionnelle au montant du
vol au taux légal γ ∈ (0, 1] fixé par la juridiction. On suppose que l’utilité de chaque joueur est la
somme d’argent qu’il détient.
1. Modélisez cette situation par un jeu de négociation à deux joueurs (U, d) (U sera l’enveloppe
convexede l’ensemble des points associés aux accords possibles).
2. Déterminez la solution de Nash.
3. L’amende est-elle dissuasive? Comment modifier le système pénal pour que l’amende soit
dissuasive?
Exercice 9 Considérons un jeu simple avec 7 joueurs tel que v(S) = 1 si
S ∈
{
{1, 2, 4}; {2, 3, 5}; {1, 3, 6}; {3, 4, 7}, {1, 5, 7}, {2, 6, 7}; {4, 5, 6}
}
et v(S) = 0 pour toutes les autres coalitions. Montrer que ce jeu ne peut être pas représenté par
un jeu de majorité pondéré.
Exercice 10 Soit un ensemble de vendeurs: N = {1, 2, 3, 4, 5}. On note Ei = (gi, ti) la
dotation initiale du joueur i: g représente la quantité de gin et t la quantité de tonic qu’ils
possèdent initialement. On suppose que Ei = (0, 1/2) si i = 1, 2 et Ei = (1, 0) si i = 3, 4, 5. Il
peuvent former des coalitions et mettre leurs ressources en commun. Ainsi une coalition S est un
sous ensemble de N et les ressources possédées par la coalition S est égale à ES = (gS , tS) où
gS =

i∈S gi et tS =

i∈S ti: gS est la quantité totale de gin possédée par la coalition S et tS
est la quantité totale de tonic possédée par la coalition S. Les consommateurs veulent acheter
uniquement des cocktails qui contiennent des parts égales de gin et de tonic. Le profit net à vendre
α unités de gin tonic est de α dollars. Décrire cette situation comme un jeu de coalition et écrire
en détail la fonction de coalition v.
2
May 08, 2021

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